طريقة بيتروف جاليركين الخطية المنفصلة لمعادلات الانتشار الكسرية للزمن

Abstract: We propose and analyze piecwise linear discontinuous Petrov-Galerkin method in time combined with a standard conforming finite element method in space for the numerical solution of time-fractional diffusion problems of order 0 < < 1. We prove the stability of the exact solution.

The existence, uniqueness and stability of approximate solutions will be proved. We employ a non-uniform mesh based on concentrating the cells near the singularity. The advantage of employing a non-uniform mesh is improving the accuracy of the approximate solution.

Numerical experiments indicate the error in L∞(0, T ; L2(Ω))-norm is of order kmin(γ(1-  μ),2) + h2, where k denotes the maximum time steps and h is the maximum diameter of the elements of the (quasi-uniform) spatial mesh and γ > 0. 

Keywords: Fractional Derivatives, Petrov-Galerkin Method, Finite Element Method, Stability.

المستخلص: المشتقات الكسرية توفر أداة لوصف الذاكرة والوراثة لمختلف المواد والعمليات. من مزايا المشتقات الكسرية أصبحت واضحة في نمذجة الخواص الميكانيكية والكهربائية في المواد الحقيقية، في وصف خصائص تدفق السوائل واللزوجة، في الفيزياء الكيميائية، في البصريات ومعالجة الإشارات، وفي العديد من المجالات الأخرى.

في هذا البحث نقترح طريقة بيتروف جاليركين الخطية المنفصلة للزمن مع طريقة العناصر المحددة للفضاء للحل العددي لمعادلات، لقد تم اثبات أن الحل المضبوط هو مستقر، وأيضا أن الحل التقريبي هو وحيد ومستفر.  .0<μ<1  الإنتشارالكسرية الزمنية من الرتبة

بالإضافة إلى ذلك لقد قمنا بتوظيف تجزئة غير منتظمة تقوم على تركيز خلايا قرب التفرد. وهذا يؤدي إلى تحسين دقة الحل التقريبي. 

L∞(0, T ; L2(Ω)) وأخيرا لقد تم استخدام برنامج ماتلاب للحصول على النتائج العددية والتي تشير الى أن الخطأ بالنسبة للمعيار الحد الأقصى للقطر من الشبكةh  الحد الأقصى للخطوات الزمنية ، و  k  حيث  kmin(γ(1−  μ),2) + h2  هو من الرتبة  .γ > 0 الفضائية (شبه المنتظمة)لقيم

الكلمات المفتاحية: المشتقات الكسرية، طريقة بيتروف-جالركين، طريقة العناصر المحدودة، الثبات.