التوزيع الطبيعي، أو منحنى الجرس، يُعد مفاهيمًا مهمة في الإحصاء والاحتمالية. يُظهر كيف تُظهر الظواهر الطبيعية مثل ارتفاعات البشر وضغط الدم. فهم التوزيع الطبيعي يساعد في فهم البيانات العالمية وصنع قرارات أفضل1.
أهم النقاط الرئيسية
- التوزيع الطبيعي هو أحد أهم المفاهيم في الإحصاء والاحتمالات.
- يصف التوزيع الطبيعي العديد من الظواهر الطبيعية مثل ارتفاعات البشر وضغط الدم.
- فهم التوزيع الطبيعي مهم لفهم البيانات العالمية وصنع قرارات مستنيرة.
- التوزيع الطبيعي له استخدامات واسعة في مجالات مختلفة مثل الذكاء الاصطناعي والعلوم البيولوجية والتمويل.
- يتميز التوزيع الطبيعي بخصائص مميزة مثل الشكل المتناظر والمتوسط المساوي للوسيط والمنوال.
مقدمة
التوزيع الطبيعي، أو منحنى الجرس، يعتبر من أهم المفاهيم في الإحصاء2. يصف ظواهر طبيعية كارتفاع البشر وضغط الدم وأخطاء القياس2. لفهم العالم الحقيقي وتخذ قرارات ذكية، من الضروري معرفة التوزيع الطبيعي.
خصائص التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي يمتاز بخصائص مهمة3. 68% من البيانات تقع في نطاق ± الانحراف المعياري من المتوسط3. و99.7% تقع في نطاق ±3 * الانحراف المعياري3. هذه القاعدة، “قاعدة 68-95-99.7″، تساعد في فهم البيانات4.
التوزيع الطبيعي متناظر حول المتوسط (μ) ويعتمد على المتوسط والانحراف المعياري2. تغييرات الانحراف المعياري تؤثر على شكل التوزيع2. التغييرات في σ تسبب تحويل الرسم البياني2.
التوزيع الطبيعي يستخدم في مجالات كثيرة3. يساعد في تحليل البيانات وتقييم المرؤوسين3. فهم خصائصه يسهل استخدام هذا التوزيع في مختلف المجالات4.
“التوزيع الطبيعي يوفر إطارًا مرجعيًا مهمًا لفهم وتفسير البيانات في العديد من المجالات.”
تاريخ التوزيع الطبيعي
بدأت فكرة التوزيع الطبيعي في القرن الثامن عشر. لابلاس، عالم الرياضيات، اكتشف أن الأخطاء في القياس توزع بشكل منتظم. هذا يعني أن الأخطاء تتراوح حول القيمة الصحيحة5.
في القرن التاسع عشر، قدم كارل فريدريش غاوس صياغة دقيقة للنظرية. استخدمت هذه الصياغة في العلوم والهندسة على نطاق واسع6.
التوزيع الطبيعي يعتبر من أهم النماذج الإحصائية. علماء مثل غاوس ساهموا بشكل كبير في تطويره وتطبيقاته6.
خصائص التوزيع الطبيعي مثل التماثل والاعتدال مهمة جدًا. هذه الخصائص تساعد في تطبيقات عديدة في العلوم والهندسة6.
“التوزيع الطبيعي هو من أكثر التوزيعات الإحصائية شيوعًا واستخدامًا في العلوم المختلفة.”
فهم تاريخ التوزيع الطبيعي يُظهر أهميته. يساعد هذا على الاستفادة منه في مجالات متعددة567.
خصائص التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي مهم جداً في الإحصاء. له خصائص مميزة8. أولاً، يظهر بشكل متناظر حول المتوسط، حيث المتوسط والوسيط والمنوال متساوية8.
ثانيًا، الانحراف المعياري يعبر عن مدى تشتت البيانات8. من أهم خصائصه قاعدة 68-95-99.7. هذه القاعدة تقول أن 68% من البيانات تقع بين انحرافين معياريين من المتوسط، و95% تقع بين انحرافين، و99.7% تقع بين ثلاثة انحرافات9.
هذه الخصائص تجعل التوزيع الطبيعي مفيداً جداً في الإحصاء. يمكن تحويل أي متغير طبيعي إلى توزيع قياسي باستخدام معادلة Z = (X – μ) / σ. هذا يسمح بحساب احتمالات وقوع المتغير في نطاقات محددة8.
| الخاصية | الوصف |
|---|---|
| الشكل المتناظر | المنحنى الناتج له شكل متناظر حول المتوسط |
| المتوسط = الوسيط = المنوال | القيم المركزية في التوزيع متطابقة |
| الانحراف المعياري | يقيس تشتت البيانات حول المتوسط |
| قاعدة 68-95-99.7 | توضح توزيع البيانات تحت المنحنى |
فهم خصائص التوزيع الطبيعي مهم جداً. يساعد في تحليل البيانات والاختبارات الإحصائية والتنبؤ والتحسين. يعتبر من أهم الأدوات الإحصائية في العديد من المجالات9.
“إن معرفة خصائص التوزيع الطبيعي وكيفية تطبيقه في العديد من المجالات مثل الصناعة والتمويل والبيولوجيا هي مفتاح النجاح في هذه التخصصات.”
التوزيع الطبيعي والذكاء الاصطناعي
التوزيع الطبيعي يلعب دورًا كبيرًا في الذكاء الاصطناعي. يُستخدم في تقنيات التعلم العميق والشبكات العصبونية10. يُقاس بالمتوسط (μ) والتباين (σ²)، ويعتمد على قاعدة 68-95-99.7.
هذه القاعدة تقول أن 68% من البيانات تقع في نطاق معياري واحد من المتوسط. و95% تقع في نطاقين معياريين. و99.7% تقع في ثلاثة نطاقات معيارية10.
في الذكاء الاصطناعي، التوزيع الطبيعي يُستخدم بكثرة. مثلًا، في الشبكات العصبونية لتوليد الأوزان الأولية10. كما في Generative Adversarial Networks (GANs) لتوليد بيانات عشوائية10.
يستخدم أيضًا في تحليل البيانات مثل Principal Component Analysis (PCA) و Linear Discriminant Analysis (LDA)10.
التوزيع الطبيعي أساس مهم في الذكاء الاصطناعي. الباحثون مستمرين في استكشافه لدعم التقدم في هذا المجال.
“التوزيع الطبيعي هو أحد أهم الأساسيات في الذكاء الاصطناعي، وتظل استكشافات الباحثين لتطبيقاته الجديدة مستمرة.”11
التوزيع الطبيعي كان مفاهيمًا مهمة في الرياضيات. اكتشفه Karl F. Gauss11.
في الماضي، كان مرتبطًا بعقيدة مضادة للفكر الليبرالي. كانت تُثبت أن الذكاء وراثيًا11. لكن، لا يمنع هذا أهمية التوزيع الطبيعي في الذكاء الاصطناعي والعلوم الأخرى.
التوزيع الطبيعي في العلوم البيولوجية
التوزيع الطبيعي يُعد أداة قوية في دراسة البيانات البيولوجية. يستخدم الباحثون هذا التوزيع لفهم الظواهر المختلفة مثل أحجام الخلايا وتباين النشاط الجيني12. يوفر إطارًا إحصائيًا قويًا لتحليل هذه البيانات وتفسيرها.
على سبيل المثال، دراسة المخاط المفرز من الأنسجة أظهرت أن الكربوهيدرات تشكل أكثر من 70% من وزنه12. المخاط يحتوي أيضًا على ببتيدات مضادة للميكروبات وسيتوكينات وأجسام مضادة، مما يُحمي من المرض12.
لإعداد العينات للفحص المجهري، هناك طريقتان شائعتان. التثبيت بالفورمالين ثم الصب في شمع البارافين، والتجميد ثم الصب في وسط حماية التجميد12. العينات المثبتة بالفورمالين توفر مقاطع مثالية للرؤية، لكن قد تحتاج إلى مزيد من المعالجة لاستعادة الأضداد12. التجميد في وسط التقطيع المثالي يحافظ على طبقة المخاط المُبلّلة بشكل أفضل12.
يمكن استخدام المنحنى الطبيعي للتنبؤ بالظواهر البيولوجية13. دراسة استخدام ماكينة صرف الزجاجات أظهرت أن متوسط عدد الأشخاص الذين يستخدمونها في الساعة هو 14 شخصًا13. المدى بين أكبر وأصغر عدد يتراوح بين 11 و 22 شخصًا13. الانحراف المعياري يؤثر على شكل المنحنى الطبيعي13. باستخدام قيم الاحتمال، يمكن تقدير الظواهر غير المحتملة مثل احتمال أقل من 0.0513.
التوزيع الطبيعي يسهم في فهم وتحليل البيانات البيولوجية. يدعم التقدم العلمي في مجالات حيوية متنوعة12.
[Link 1 Source]13[Link 2 Source]التوزيع الطبيعي في التمويل
التوزيع الطبيعي يُستخدم كثيرًا في التمويل. خاصة في إدارة المخاطر14 وتنبؤ أسعار الأسهم14. يساعد في تقييم وإدارة المخاطر بشكل أفضل14، وإنشاء نماذج لأسعار الأسهم14.
إدارة المخاطر باستخدام التوزيع الطبيعي
جدول التوزيع العادي القياسي مهم في التمويل. يساعد في تقييم المخاطر واتخاذ قرارات استثمارية14. فترات الثقة تستخدم هذا الجدول لتقدير المعلمات السكانية14.
نظرية المحفظة تعتمد على التوزيع الطبيعي. تساعد في تحليل الاستثمارات وتحسين الأداء المالي14.
التنبؤ بأسعار الأسهم باستخدام التوزيع الطبيعي
تستخدم احتمالية تجاوز سعر السهم لمستوى معين جدول التوزيع الطبيعي14. حساب Z-score يُظهر موقع البيانات في التوزيع14. هذا يساعد في اتخاذ قرارات مستنيرة14.
موديلات تسعير الخيارات وحسابات VaR تستخدم الافتراض الطبيعي14. محاكاة مونت كارلو مهمة في التمويل الكمي15.
“يعتبر التوزيع الطبيعي أداة قوية لنمذجة وفهم سلوك العوائد في الأسواق المالية.”
التوزيع الطبيعي مفيد في التمويل. توزيع Poisson مفيد في تحديد متطلبات الموظفين16. يساعد في تقدير احتمالية حدوث عدد معين من الأحداث16.
| التطبيق | استخدام التوزيع الطبيعي |
|---|---|
| إدارة المخاطر | تقييم المخاطر واتخاذ قرارات استثمارية مستنيرة، تحديد فترات الثقة لتقدير المعلمات الحقيقية |
| التنبؤ بأسعار الأسهم | حساب احتمالية تجاوز سعر السهم لمستوى معين، تحديد الموقع النسبي لنقاط البيانات ضمن التوزيع |
| نمذجة العوائد المالية | نمذجة سلوك العوائد في الأسواق المالية، افتراض التوزيع الطبيعي في موديلات تسعير الخيارات وVaR |
التوزيع الطبيعي مفيد في التمويل. يساعد في إدارة المخاطر14، التنبؤ بأسعار الأسهم14، ونمذجة العوائد المالية14. توزيع Poisson مفيد في تقدير متطلبات الموظفين16.
تطبيقات التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي هو أداة قوية في مجالات عديدة. يُستخدم في تحليل البيانات، الاختبارات الإحصائية، التنبؤ، وتحسين العمليات5.
تحليل البيانات
التوزيع الطبيعي يُستخدم لوصف الظواهر الطبيعية والاجتماعية6. يُستخدم لتحليل القياسات مثل أطوال الأفراد أو عدد الأطفال6.
الاختبارات الإحصائية
التوزيع الطبيعي أساس اختبارات إحصائية كاختبار t7. يُستخدم لتقدير الفرضيات والاستدلال الإحصائي7.
التنبؤ
يُستخدم التوزيع الطبيعي في نماذج التنبؤ في مجالات كالاقتصاد والهندسة7. يُستخدم لتنبؤ بالطلب أو أداء الأسهم7.
تحسين العمليات
التوزيع الطبيعي يُستخدم في تحسين العمليات الإنتاجية5. يُساعد في تحليل البيانات والتنبؤ بالأداء المستقبلي5.
التوزيع الطبيعي أداة فعالة في مجالات عديدة. يُظهر أهميته في الإحصاء والتحليل الكمي.
تعريف التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي، أو التوزيع الغوسي، هو أشهر التوزيعات الاحتمالية5. يتميز بشكله الجرسي حول المتوسط. يُعرف بمتوسطه (μ) وإنحرافه المعياري (σ)، ويساعد كثيرًا في التحليلات الإحصائية5.
اكتشف العالم الرياضي الألماني كارل غاوس التوزيع الطبيعي في 19355. صيغته الرياضية هي:
f(x) = (1 / σ * √2π) * e^(-(x – μ)^2 / 2σ^2)
حيث -∞ 05.
في التوزيع الطبيعي القياسي، Z = 1 يمثل المساحة تحت المنحنى إلى اليسار. المساحة إلى اليمين تساوي 1 – P(Z 1.
68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد (σ). 95% تقع ضمن انحرافين معياريين (2σ). و99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية (3σ) من المتوسط5.
التوزيع الطبيعي القياسي يُستخدم لحساب احتمالات المنطقة تحت المنحنى. على سبيل المثال، لإيجاد P(Z 1.22) = 0.11125.
جدول التوزيع الطبيعي القياسي (Z-table) يوفر قيم الاحتمالات. يُتيح حساب الاحتمالات للأحداث المختلفة5.
باستخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي، يمكن تحديد احتمالات الأحداث. على سبيل المثال، P(Z 1.
هذا الجدول يساعد في حساب الاحتمالات المرتبطة بنقاط البيانات المحددة. يساعد في التوزيع الطبيعي5.
التوزيع الطبيعي في المحاكاة
التوزيع الطبيعي يُستخدم كثيرًا في المحاكاة. يتم اختيار التوزيع الذي يُشبه أكثر التغيرات الحقيقية. ثم نستخدمه في نماذج المحاكاة لتحاكي التغيرات بنفس الطريقة15.
محاكاة مونت كارلو بدأت في الأربعينيات من القرن العشرين. جون فون نيومان وستانيسلاف أولام هما من بدأها15. لتحقيق نتائج دقيقة، تحتاج إلى حوالي 100,000 عينة15.
في صناعة الألعاب عبر الإنترنت، تُستخدم محاكاة مونت كارلو لضمان العدالة15. كما تستخدم في مجالات مثل الخدمات المصرفية والهندسة17. يتم استخدام توزيع احتمالات معين لتمثيل المتغيرات العشوائية17.
التحديات الشائعة في محاكاة مونت كارلو تشمل تحديد قيم الإدخال بدقة15. خدمة AWS Batch من AWS تساعد في تنفيذ المحاكاة بشكل تلقائي15.
منحنى التوزيع الطبيعي يُعتبر أداة مهمة في محاكاة مونت كارلو3. يتميز بالخصائص مثل التماثل والمساحة تحت المنحنى.
منحنى التوزيع الطبيعي يُستخدم في تطبيقات إدارية وإحصائية كتقييم الموظفين3. 68% من الاحتمالات تقع في حدود المتوسط ± الانحراف المعياري3.
باستخدام هذه الخصائص، يمكن التنبؤ بأن 99.7% من الإنتاج سيكون ضمن مدى معين3.
التوزيع الطبيعي يلعب دورًا بارزًا في المحاكاة. يتم استخدامه لتحديد التوزيعات الاحتمالية وتقييم المخاطر3. هذا يساعد في التنبؤ بالنتائج بشكل دقيق3.
هذه المعلومات مهمة للباحثين والمطورين الذين يستخدمون محاكاة مونت كارلو في مشاريعهم.
التوزيع الطبيعي في خرائط المراقبة
التوزيع الطبيعي مهم جدًا في خرائط المراقبة. خرائط المراقبة تساعد في ضبط العمليات بشكل إحصائي18. تم اختراعها في العشرينيات من القرن الماضي من قبل والتر شويهارت19.
في خرائط المراقبة، نضع حدودًا عند μ ± 3σ. هذه الحدود تغطي 99.7% من الاحتمالات18. هذا يساعد في معرفة ما إذا كان التغير مقبولًا أم لا19.
التوزيع الطبيعي مهم في متابعة أداء العمليات. يساعد في تحديد مصادر التباين19. يُستخدم هذا النوع من الخرائط في المؤسسات العربية لتتبع الأداء18.
اختيار حجم العينة مهم جدًا في خرائط المراقبة. حدود 3- سيغما تحدد حدود السيطرة19. مهمة مخطط الرقابة الكشف المبكر عن التغييرات19.
دراسات عديدة تناولت التوزيع الطبيعي في خرائط المراقبة. مثل دراسة على20242 مشاركًا في مجال معين. استخدموا أساليب مختلفة للرصد والتحكم20.
التوزيع الطبيعي يلعب دورًا كبيرًا في خرائط المراقبة. يساعد في تحديد الحدود القصوى والدنيا1819. هذا يساعد في معرفة التغيرات غير الطبيعية1819.
مثال باستخدام البايثون
هنا نستخدم لغة البايثون Python لتوليد بيانات طبيعية. نرسم منحنى التوزيع الطبيعي وحساب احتمال قيمة أقل من معينة21.
أولًا، نستخدم NumPy لتوليد بيانات عشوائية. بياناتها متبعة للتوزيع الطبيعي بمتوسط 90 كجم وانحراف معياري 7.5 كجم21. ثم نرسم منحنى التوزيع باستخدام Matplotlib22.
بعد ذلك، نحسب احتمال قيمة أقل من 94 كجم. نستخدم دالة التوزيع التراكمي (CDF) من SciPy21. هذا يفسر توزيع البيانات والقيم المرتبطة بها21.
| المؤشر | القيمة |
|---|---|
| متوسط الوزن | 90 كجم21 |
| الانحراف المعياري للعينة | 7.5 كجم21 |
| الانحراف المعياري لتوزيع أخذ العينات | حوالي 2.5 كجم21 |
| فاصل ثقة 90% لتوزيع أخذ العينات | (94, 86) كجم21 |
| الأخطاء المعيارية لتقدير الوزن | 2.5 كجم21 |
| فاصل الثقة 90% للمقدار المقدر x̄ | (94.1, 85.9) كجم21 |
| الانحراف المعياري لتوزيع أخذ العينات (خطأ المعياري للتقدير) | 2.5 كجم21 |
النمذجة الرياضية للتوزيع الطبيعي مهمة في مجالات كالتنبؤ والتحليل الإحصائي. استخدام Python يسهل هذه المهام ويحسن فهم التوزيع الطبيعي وتطبيقاته22.
التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي يعتبر من الأدوات الإحصائية الأكثر أهمية6. العالم كارل فريدريش جاوس قدم هذه النظرية في عام 18096. يُستخدم للتطرق إلى الظواهر المعقدة في مجالات كالإحصاء والعلوم الطبيعية6.
خصائص التوزيع الطبيعي
التوزيع الطبيعي يتميز بشكله المتناظر، ومتوسطه ووسيطة ووسيطه متساوون6. المساحة تحت المنحنى تُمثِّل الاحتمالات المختلفة6. هذه الخصائص جعلته أداة قوية في مجالات متعددة6.
يُستخدم التوزيع الطبيعي في مجالات كالإحصاء والهندسة والإدارة3. يُستخدم لتقيم الموظفين وتحليل الانحدار وخرائط الضبط3. كما يلعب دورًا هامًا في عمليات المحاكاة3.
البيانات حول المتوسط تتم تماثل الاحتماليات3. 68% من القيم تقع ضمن الانحراف المعياري3. تغيير الانحراف المعياري يؤثر على تمدُّد المنحنى3.
المنحنى الطبيعي يُستخدم لتقدير احتماليات الحدوث3. تعرف هذه الاحتماليات بالمساحة تحت المنحنى بين القيم المحددة3.
| الخاصية | القيمة |
|---|---|
| الشكل المتناظر | نعم |
| المتوسط = الوسيط = المنوال | نعم |
| المساحة تحت المنحنى | تمثل الاحتمالات |
| نسبة المشاهدات ضمن الانحراف المعياري | 68% |
| نسبة المشاهدات ضمن ±3 انحراف معياري | 99.7% |
احتمالات التوزيع الطبيعي
تُمثِّل المساحة تحت المنحنى في التوزيع الطبيعي الاحتمالات المختلفة23. وفقًا لقاعدة 68-95-99.7، 68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط23. و95% تقع ضمن انحرافين معياريين، و99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية23.
هذه المعلومات تُستخدم في التحليلات الإحصائية والتطبيقات العملية23.
التوزيع الطبيعي يُستخدم في الإحصاء والعلوم الطبيعية والاجتماعية6. على سبيل المثال، طول الشبان يتراوح بين 150 و110 سم مع متوسط 72 سم6. معظمهم يتوسط حول 72 سم6.
كما يُظهر توزيع انجاب الأطفال أن متوسط عدد الأطفال في الأسرة 36. هناك عائلات تنجب 12 طفلاً وأخرى لا تنجب6.
الخصائص مثل الاشتقاق وترتيب القيم تناظر حول النقطة6. كلما زاد عدد الأحداث، زادت الدالة الاحتمالية6.
| عدد الانحرافات المعيارية (n) | الاحتمال داخل النطاق |
|---|---|
| 1 | 68.27% |
| 2 | 95.45% |
| 3 | 99.73% |
| 4 | 99.994% |
| 5 | 99.9999% |
| 6 | 99.99998% |
الجدول يُظهر المضاعفات n للانحرافات المعيارية للاحتمالات المختلفة23. هذه المعلومات مفيدة لتحديد فواصل التسامح لمتوسطات العينات23.
في الختام، التوزيع الطبيعي مهم في العلوم والتطبيقات23. يُعد نموذجًا بسيطًا وفعالًا للتعامل مع الظواهر المعقدة23. فهم خصائصه يُساعد في التحليلات الإحصائية والتنبؤات العملية23.
استخدام التوزيع الطبيعي في المواصفات الهندسية
يستخدم24 التوزيع الطبيعي في مجالات الهندسة مثل تحديد المواصفات. يمكن للمهندسين وضع حدود للتغيرات والانحرافات في الأداء24. على سبيل المثال، إذا كان متوسط درجات الطلاب 100 مع انحراف معياري 15، 68% منهم سيحصلون على درجات بين 85 و11524.
في الهندسة، يساعد التوزيع الطبيعي في تحديد جودة الأداء24. يمكن وضع حدود للانحرافات عند مستوى ثقة معين، مثل 99.7%24. هذا يضمن جودة المنتجات والعمليات24. مقياس Z يُستخدم لتحليل الأداء24.
التوزيع الطبيعي مفيد في المحاكاة والتنبؤ بالأداء الهندسي24. يمكن استخدامه لتقدير المخاطر والتغيرات المحتملة24. هذا يُساعد في تصميم أنظمة أكثر كفاءة24.
FAQ
What is the normal distribution and its applications?
What is the history of the normal distribution?
What are the key characteristics of the normal distribution?
How is the normal distribution used in artificial intelligence?
What are the applications of the normal distribution in the biological sciences?
How is the normal distribution used in finance?
What are some practical applications of the normal distribution?
What is the definition of the normal distribution?
How is the normal distribution used in simulation?
How is the normal distribution used in control charts?
Can you provide an example using Python?
What are the key features of the normal distribution?
How can the probabilities of the normal distribution be used?
How is the normal distribution used in engineering specifications?
روابط المصادر
- عرض المقال – https://www.netinfo.click/AItools/lesson/?file=Normal Distribution&lang=ar
- 6.0: مقدمة للتوزيع الطبيعي – https://query.libretexts.org/اللغة_العربية/كتاب:_إحصاءات_الأعمال_(OpenStax)/06:/6.00:_مقدمة_للتوزيع_الطبيعي
- التوزيع الطبيعي وأهميته…Normal Distribution – https://samehar.wordpress.com/2010/02/11/normal-distribution/
- التوزيع الطبيعي: كيفية استخدام التوزيع الطبيعي لنمذجة التوزيع الاحتمالي لتقدير الاستثمار – FasterCapital – https://fastercapital.com/arabpreneur/التوزيع-الطبيعي–كيفية-استخدام-التوزيع-الطبيعي-لنمذجة-التوزيع-الاحتمالي-لتقدير-الاستثمار.html
- PDF – https://faculty.uobasrah.edu.iq/uploads/teaching/1587930083.pdf
- توزيع احتمالي طبيعي – https://ar.wikipedia.org/wiki/توزيع_احتمالي_طبيعي
- التوزيع الطبيعي والتوزيع البرنولي في الاحصاء – واجبات unit6 – https://www.andeetop.com/2024/05/Normal-distribution-Bernoulli-distribution.html
- منحنى التوزيع الطبيعي القياسي … Standard Normal Distribution – https://samehar.wordpress.com/2010/02/16/normal-distribution-2/
- جدول التوزيع المعياري الطبيعي – https://www.search-academy.com/article/جدول-التوزيع-المعياري-الطبيعي
- عرض المقال – https://netinfo.click/AItools/lesson/?file=Gaussian Distribution&lang=ar
- اعتدالية التوزيع بين مبادئ الاحصاء والجودة – https://rashadsp.org/view_post.php?post_id=465
- Using Unfixed, Frozen Tissues to Study Natural Mucin Distribution (Artigo) | JoVE – https://www.jove.com/pt/t/3928/using-unfixed-frozen-tissues-to-study-natural-mucin-distribution?language=Arabic
- قياس التباين في البيانات ذات التوزيع الطبيعي بواسطة “الانحراف المعياري” – – https://www.aspdkw.com/قياس-التباين-في-البيانات-ذات-التوزيع-ا/
- التوزيع الطبيعي: كيفية استخدام التوزيع الإحصائي الأكثر شيوعًا في التمويل – FasterCapital – https://fastercapital.com/arabpreneur/التوزيع-الطبيعي–كيفية-استخدام-التوزيع-الإحصائي-الأكثر-شيوعًا-في-التمويل.html
- ما المقصود بمحاكاة مونت كارلو – شرح “محاكاة مونت كارلو” – AWS – https://aws.amazon.com/ar/what-is/monte-carlo-simulation/
- 4.4: توزيع بواسون – https://query.libretexts.org/اللغة_العربية/كتاب:_إحصاءات_الأعمال_(OpenStax)/04:/4.04:_توزيع_بواسون
- محاكاة مونت كارلو وتحليل عدم اليقين وتحليل الحساسية في تقييم دورة الحياة – DEISO – https://dei.so/ar/تحليل-عدم-اليقين-وتحليل-الحساسية-في-محاكاة-مونت-كارلو-في-تقييم-دورة-الحياة/
- خرائط المراقبة Control Charts – https://samehar.wordpress.com/2010/01/22/control-charts/
- مخطط الرقابة – https://ar.wikipedia.org/wiki/مخطط_الرقابة
- PDF – https://caf.journals.ekb.eg/article_126501_ab854448764a83836086f97b6a0bcee6.pdf
- الأساليب التحليلية لتحليل البيانات الاستكشافية في بايثون – https://academy.hsoub.com/programming/python/الأساليب-التحليلية-لتحليل-البيانات-الاستكشافية-في-بايثون-r1577/
- أشهر 5 مكتبات بايثون Python libraries يجب أن تعرفها في 2023 » منصة المدرسة – https://almdrasa.com/أشهر-5-مكتبات-بايثون-python-libraries-يجب-أن-تعرفها-في/?srsltid=AfmBOooiW6kHT2Rbmon4Xq5vJWLMSrLpayxzPLLl0S6D5cx_EBtCM4Uz
- توزيع احتمالي طبيعي – المعرفة – https://www.marefa.org/توزيع_احتمالي_طبيعي
- التوزيع الطبيعي: انهيار منحنى الجرس: استكشاف التوزيع الطبيعي – FasterCapital – https://fastercapital.com/arabpreneur/التوزيع-الطبيعي–انهيار-منحنى-الجرس–استكشاف-التوزيع-الطبيعي.html
