The Sub- Laplacian on The Heisenberg Group and Itʼs Spectral Properties

Soha Ali Salamah

Faculty of Sciences ||  Al-Baath University ||  Syria

[button url=”https://doi.org/10.26389/AJSRP.M260120″ target=”blank” style=”glass” background=”#f19409″ color=”#ffffff” size=”5″ center=”yes” radius=”round” icon=”icon: dot-circle-o”]DOI[/button] [spacer size=”10″] [button url=”https://journals.ajsrp.com/index.php/ajsrp/article/view/2237/2110″ target=”blank” style=”glass” background=”#0986f1″ color=”#ffffff” size=”5″ center=”yes” radius=”round” icon=”icon: file-pdf-o”]PDF[/button] [spacer size=”10″] [box title=”Abstract” style=”glass” box_color=”#0875b6″ radius=”5″]

Abstract: in this paper we talk about the spectral theory of the sub-Laplacian on the Heisenberg group. Then we give a complete analysis of the spectrum of the unique self- adjoint extension of this sub-Laplacian on the one-dimensional Heisenberg group. The Heisenberg group is the most known example from the realm of nilpotent Lie groups, and plays an important role in several branches of mathematics, such as representation theory, partial differential equations and number theory… It also offers the greatest opportunity for generalizing the remarkable results of Euclidean harmonic analysis.

The results in this paper are valid for the sub-Laplacian on the n-dimensional Heisenberg group Hn,n>1 , in which the underlying space is CnR, but we have chosen to present the results for the one-dimensional Heisenberg group ℍ for the sake of simplicity and transparency.

Keywords: Heisenberg group, sub-Laplacian, twisted Laplacians, Fourier_Wigner transform, special Hermite functions,  eigenvalues, spectrum .

مؤثر لابلاس الجزئي على زمرة هايزنبرغ وخصائصه الطيفية

سهى علي سلامة

كلية العلوم || جامعة البعث || سوريا

[box title=”الملخص” style=”glass” box_color=”#0875b6″ radius=”5″]

الملّخص: في هذا البحث قدّمنا مناقشةً موجزة للنظرية الطيفيّة لمؤثر لابلاس الجزئي على زمرة هايزنبرغ. ثمّ قدّمنا تحليلاً كاملاً للطيف الخاص بالتمديد الوحيد المترافق ذاتياً لهذا المؤثر على زمرة هايزنبرغ أحاديّة البعد. إنّ زمرة هايزنبرغ تُعتبر بمثابة الزمرة الأكثر شهرةً في زمر لي عديمة القوى، وتلعب دوراً هاماً في العديد من فروع الرياضيات، مثل نظرية التمثيل، المعادلات التفاضليّة الجزئية، ونظرية الأعداد… إضافةً إلى أنّها تُقدّم توسعاً ملحوظاً في الحصول على نتائج مهمّة في التحليل التوافقي الإقليدي.

إنّ النتائج في هذا البحث محققة لأجل مؤثر لابلاس الجزئي على زمرة هايزنبرغ ذات البعد n (Hn,n>1), والتي هي بمثابة الفضاء   CnR, ولكننا اخترنا عرض النتائج لأجل زمرة هايزنبرغ ذات البعد الواحد ℍ, وذلك للسهولة والتبسيط. 

الكلمات المفتاحيّة: زمرة هايزنبرغ, مؤثر لابلاس الجزئي, مؤثر لابلاس الملتوي, تحويل فورييه _ ويغنر, دوال هرميت الخاصة, القيم الذاتية, الطيف.