كيف يمكن حساب المتوسط والوسيط والانحراف المعياري؟

المتوسط الحسابي والانحراف المعياري هما أساسيات في الإحصاء¹. فهمهما يساعد في فهم البيانات وتحليلها¹. هذا يساعد في اتخاذ قرارات مبنية على بيانات دقيقة¹.

في هذا المقال، سنشرح كيفية حساب المتوسط والانحراف المعياري. سنعرف أيضًا عن علاقة بينهما وأهميتهما في الإحصاء¹.

أهم النقاط الرئيسية:

• المتوسط الحسابي هو القيمة المركزية لمجموعة البيانات
• الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت البيانات حول المتوسط الحسابي
• ¹ في مجال الاقتصاد، يمكن لحساب الإنحراف المعياري للبيانات أن يساهم في تحليل الرسوم البيانية للأسعار والمؤشرات الاقتصادية
• ¹ في مجال العلوم الاجتماعية، يعد الوسيط الحسابي أحد القياسات الهامة لتقدير وتحليل الأعداد
• ¹ في مجال العلوم الطبيعية، يمكن حساب الإنحراف المعياري لتقييم التباين في النتائج التجريبية

تعريف المتوسط الحسابي والانحراف المعياري في الإحصاء

في علم الإحصاء، المتوسط الحسابي هو القيمة المركزية لمجموعة البيانات. يظهر القيمة الوسطية². يستخدم لقياس التركيز الأكثر تمثيلاً في البيانات وفهم النمط العام وتوزيع القيم³.

متوسط حسابي هو القيمة المركزية لمجموعة البيانات

المتوسط الحسابي يتم الحصول عليه بقسمة مجموع عناصر المجموعة على عدد القيم³. يُعتبر أفضل مقياس للاتجاه المركزي. يستخدم لقياس مجموعة البيانات بشمولية أكبر من الوسيط أو الوضع³.

الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت البيانات حول المتوسط الحسابي

الانحراف المعياري يبحث في مدى بعد الأرقام عن المتوسط³. يقيس تباعد الأرقام في مجموعة البيانات³. كلما كان الانحراف المعياري منخفضًا، كلما كانت البيانات متقاربة حول المتوسط، والعكس صحيح².

الانحراف المعياري يشير إلى شدة التباين في مجموعة البيانات². يستخدم لتحليل توزيع البيانات وتقييم مدى تشتتها حول المتوسط الحسابي².

المتوسط الحسابي يمثل القيمة المركزية في مجموعة البيانات. الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت البيانات حول هذا المتوسط²³.

حساب المتوسط والوسيط

في عالم الإحصاء، هناك طرق عديدة لحساب المتوسط والوسيط⁴. يمكن حساب المتوسط بجمع القيم ثم قسمتها على عدد القيم⁵. هذا يعطي قيمة تمثيلية للبيانات.

الوسيط الحسابي هو القيمة الوسطى عند ترتيب البيانات⁵. إذا كان عدد البيانات فرديًا،⁵ يكون الوسيط هو القيمة الوسطى. أما إذا كان عدد البيانات زوجيًا،⁵ نضرب القيمتين الوسطيتين ثم نقسم النتيجة على 2.

طرق حساب المتوسط الحسابي

هناك طريقتان رئيسيتان لحساب المتوسط⁴:

1. جمع القيم ثم قسمتها على عدد القيم.
2. إضافة القيم ثم قسمتها على عدد القيم.

طرق حساب الوسيط الحسابي

للحساب الوسيط، هناك طريقتان أساسيتان⁵:

• ترتيب البيانات ثم اختيار القيمة الوسطى.
• في حالة عدد زوجي، نضرب القيمتين الوسطيتين ثم نقسم النتيجة على 2.

طرق حساب الانحراف المعياري

للحصول على الانحراف المعياري، نبدأ بتحديد الفرق بين كل قيمة ومتوسطها. ثم نربيع هذه الفروق. بعد ذلك، نجمع هذه القيم ونقسمها. أخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي من النتيجة⁶. هذا يُظهر مدى تشتت البيانات حول المتوسط⁶.

هناك نوعان من الانحراف المعياري: الانحراف المعياري للعينة (S) والانحراف المعياري للمجتمع (σ)⁶. الانحراف المعياري للعينة يُحسب من عينة من البيانات. يستخدم الصيغة [مجموع (X – X̄)² / (n-1)] √⁶. أما الانحراف المعياري للمجتمع فيستخدم عندما نأخذ كل أفراد المجتمع، ويُحسب باستخدام الصيغة [مجموع (X – μ)² / n] √⁶.

للحساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية، نبدأ بإيجاد المتوسط. ثم نستخدم الصيغة: [مجموع (التكرار × (وسط الفئة – المتوسط)²) / مجموع التكرارات] √⁶.

• خطوات حساب الانحراف المعياري:
  1. إيجاد المتوسط عن طريق جمع القيم وقسمتها على العدد.
  2. طرح المتوسط من كل قيمة، ثم مربع النتيجة.
  3. جمع القيم المربعة.
  4. قسمة المجموع على العدد.
  5. استخراج الجذر التربيعي للنتيجة.

تم تقديم أمثلة على حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية. كما تم تحديد الانحراف المعياري لقيم معطاة. كما تم حساب الانحراف المعياري لعينة من مجتمع، وحساب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم⁶. الانحراف المعياري يُظهر مدى تشتت البيانات حول المتوسط⁶.

في مجموعة البيانات، تحديد عدد القيم مهم جداً. سواء كانت القيم تختلف كثيراً أو قليلاً مثل الأرقام العشرية⁷. المتوسط الحسابي يُحسب عن طريق جمع القيم وقسمتها على عدد القيم⁷.

التباين يُظهر مدى انتشار البيانات من المتوسط. التباين المنخفض يعني تجمع البيانات حول المتوسط. بينما التباين المرتفع يدل على تشتت البيانات⁷.

للحساب التباين، نطرح المتوسط من كل قيمة ثم نربيع النتائج. ثم نجمع هذه القيم المربعة ونقسمها على (n-1)⁷. الانحراف المعياري يُظهر مدى تشتت البيانات في العينة. يتم استخلاص الانحراف المعياري من الجذر التربيعي للتباين⁷.

الخلاصة

المتوسط الحسابي والانحراف المعياري هما أدوات مهمة لتحليل البيانات⁸. يساعد المتوسط الحسابي في معرفة القيمة المركزية للبيانات⁹. الانحراف المعياري يقيّم مدى تشتت البيانات حول هذه القيمة¹⁰.

استخدام هذه المفاهيم يساعد في اتخاذ قرارات مستنيرة¹⁰. هذا يضمن تحليل البيانات بدقة و موضوعية.

في بعض الأحيان، قد لا يكون المتوسط الحسابي دقيقًا مثلًا في حالة تباين الرواتب⁹. هنا، الوسيط يُعد خيارًا أفضل لتوفير تقدير دقيق للبيانات المتباينة¹⁰.

اختيار الطريقة المناسبة لتحليل البيانات أمر مهم جدًا¹⁰. هذا يضمن فهم دقيق للبيانات.

هذه المفاهيم الأساسية تعتبر أدوات قوية لتحليل البيانات¹⁰. تساعد في اتخاذ قرارات مستنيرة وفعالة. وتلعب دورًا محوريًا في مجالات متعددة مثل التخطيط والتنبؤ.

روابط المصادر

1. حساب المتوسط الحسابي و الإنحراف المعياري – https://blog.ajsrp.com/حساب-المتوسط-الحسابي-و-الإنحراف-المعي/
2. حساب المتوسط الحسابي و الإنحراف المعياري  – https://mobt3ath.com/dets.php?page=909&title=حساب_المتوسط_الحسابي_و_الإنحراف_المعياري 
3. تعريف المتوسط الحسابي | المدونة العربية – https://blog.ajsrp.com/تعريف-المتوسط-الحسابي/
4. الفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال – موضوع – https://mawdoo3.com/الفرق_بين_المتوسط_الحسابي_والوسيط_والمنوال
5. منصة التعليم في مصر | المتوسط والوسيط والمنوال – https://www.egyptianeducation.com/ar/article.aspx?AID=13105&CID=0&WID=56
6. كيفية حساب الانحراف المعياري – موضوع – https://mawdoo3.com/كيفية_حساب_الانحراف_المعياري
7. كيفية حساب الانحراف المعياري: 12 خطوة (صور توضيحية) – wikiHow – https://ar.wikihow.com/حساب-الانحراف-المعياري
8. البيانات المبوبة،قانون الوسط الحسابي والوسيط والمنوال والمدى، أسهل طريقة للشرح.  – تحليل إحصائي – https://tahleelehsaey.com/mean_median_mode_and_range_for_tabulated-data/
9. اية الفرق بين ال mean, mode, median – https://www.linkedin.com/pulse/measures-central-tendency-mean-median-mode-مقاييس-النزعة-mina-nessim
10. استعمالات الاحصاء في البحوث الميدانية |عميرة جويدة وبرادعية صليحة – JiL.Center – https://jilrc.com/archives/4519