Generalization of the Fibonacci sequence, Pascal’s triangle, and the binomial theorem
Mohammed Elsmani Abdelrahman
Faculty of Engineering | Department of Mechanics | University of Khartoum | Republic of Sudan
Faisal Ahmed Saleh Al-Rabie Safety Establishment | Al Khafji | Kingdom of Saudi Arabia
Abstract: This research generalizes the relationship between Pascal’s triangle and binomial expansion by using variables instead of numbers. The triangle is formed using variable (d) instead of the zero term (0), variable (a) instead of the first term (1), and variable (m) as a generalization of the binomial theorem. The mathematical patterns resulting from the triangle’s formation are studied using these variables,
leading to five new mathematical equations: the vertical equation, the hypotenuse equation, the row equation, the sum of the rows equation, and the equation of the golden function sequences.
The equation of the golden function sequences is considred an unprecedented generalization of the nth term of the Fibonacci and Lucas sequence. Additionally, a new, unprecedented diamond equation is for mulated,
and a new conjecture related to prime numbers is formulated, as it is considered a generalization of Fermat’s Little Theorem. This research highlights the need for a more comprehensive understanding of the relationship between Pascal’s triangle and binomial expansion.
Keywords: golden function, Luca’s sequence, Fibonacci sequence, Pascal’s triangle, Prime numbers, diamond equation
تعميم علاقة مثلث باسكال بنظرية ذات الحدين ومتتابعة فيبوناتشي وصياغة حدسية جديدة
تخص الأعداد الأولية
محمد السماني عبد الرحمن
كلية الهندسة | قسم الميكانيكا | جامعة الخرطوم | جمهورية السودان
مؤسسة فيصل أحمد صالح الربيع للسلامة | الخفجي | المملكة العربية السعودية
المستخلص: هدف هذا البحث إلى تعميم العلاقة بين مثلث باسكال وتوسيع ثنائي باستخدام المتغيرات بدلاً من الأرقام. يتم تشكيل المثلث باستخدام المتغير (d) بدلاً من المصطلح الصفري (0)، والمتغير (a) بدلاً من المصطلح الأول (1)، والمتغير (m) كتعميم لنظرية الثنائي.
يتم دراسة الأنماط الرياضية الناتجة عن تشكيل المثلث باستخدام هذه المتغيرات، مما يؤدي إلى خمسة معادلات رياضية جديدة: معادلة عمودية، معادلة الوتر، معادلة الصف، مجموع معادلات الصفوف، ومعادلة تسلسلات الوظائف الذهبية. تُعتبر معادلة تسلسلات الوظائف الذهبية تعميمًا غير مسبوق للمصطلح الثاني لتسلسل فيبوناتشي وتسلسل لوكاس. بالإضافة إلى ذلك، يُصاغ معادلة جديدة وغير مسبوقة للماس،
ويُصاغ افتراض جديد يتعلق بأعداد أولية، حيث يُعتبر تعميمًا لنظرية فيرما الصغرى. يُسلط هذا البحث الضوء على ضرورة فهم أكثر شمولًا للعلاقة بين مثلث باسكال وتوسيع ثنائي.
الكلمات المفتاحية: الدالة الذهبية، متتابعة لوكاس، متتابعة فيبوناتشي، مثلث باسكال، الأعداد الأولية، المعادلة الماسية.
